Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss Jordan 

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.

Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai pada bentuk baris eselon (row echelon form) dan setelah menjadi matriks baris lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi.

Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-

koefisien dari sistem persamaan linier.

Sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

1      Menukar posisi dari 2 baris.

Ai ↔Aj

2       Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.

Ai = k*Aj

3      Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

    

    Thomas (1984:93-94) mengatakan bahwa setiap matriks memiliki bentuk eselon baris tereduksi yang unik, artinya kita akan memperoleh bentuk eselon baris tereduksi yang sama untuk matriks tertentu bagaimanapun variasi operasi baris yang dilakukan. Sebuah matriks yang dinyatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi, maka matriks tersebut harus mempunyai sifat-sifat berikut :

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu

adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1).

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan

dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada

baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris

yang lebih tinggi.

4.    Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.

Cara Mudah Menyelesaikan Eliminasi Gauss Jordan

misal sebuah matrik

a       b       c       x

d       e       f       y

g       h       i        z

cara menyelesaikan matrik dengan eliminasi gauss jordan

1. ubah nilai a menjadi 1 dengan cara membagi baris 1 dengan nilai a

2. ubah nilai d menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 2 dengan baris 1 di kali nilai d

3. ubah nilai g menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 3 dengan baris 1 dikali nilai g

4. ubah nilai e menjadi 1 dengan cara membagi baris 1 dengan nilai e

5. ubah nilai h menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 3 dengan baris 2 di kali nilai h

6. ubah nilai i menjadi 1 dengan cara membagi baris 3 dengan nilai i

7 ubah nilai f menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 2 dengan baris 3 di kali nilai f

8. ubah nilai c menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 1 dengan baris 3 dikali nilai c

9. ubah nilai b menjadi 0 dengan cara mengurangi baris 1 dengan baris 2 dikali nilai b